TEMA 3 MATEMATICAS 6 POTENCIAS

¿QUÉ ES UNA POTENCIA?

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁵

Base de una potencia

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6.

Exponente de una potencia

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5.

Propiedades de la potencias de números naturales

1. Un número elevado a 0 es igual a 1.

a⁰ = 1

5⁰ = 1

2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.

a¹ = a

5¹ = 5

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

2⁵ : 2² = 2^{5 - 2} = 2³

5. Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

(2⁵)³ = 2¹⁵

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

2³ · 4³ = 8³

POTENCIAS DE BASE 10

Para escribir números grandes de forma abreviada usamos las potencias de base 10, que son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Así,

• El número cien: 100 = 10 × 10 = 10²
• El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 10³
• El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴
• El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵
• El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁶
• El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁷ ,y así sucesivamente.

Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 km, la podemos escribir como 15 × 10⁷ km.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10

Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos de cada una de sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de unidad que ocupa cada cifra.

Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades, vamos a descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768.

a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U

608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 2 = 6 × 10⁵ + 8 × 10³ + 9 × 10² + 1 × 10 + 2

b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U

45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 10⁴ + 5 × 10³ + 7 × 10² + 6 × 10 + 8